Calcul de la température radiante moyenne

Définition

La température radiante moyenne T_r est la température uniforme des parois d’une enceinte qui provoquerait le même échange radiatif que l’environnement réel étudié. Ce dernier pouvant être complexe, intégrant des flux solaires \varphi ou des surfaces de températures très différentes, elle permet de les agréger en un seul indicateur.

Mathématiquement, cela revient à écrire ce qui suit :

\sigma \epsilon S T_r^4 = \alpha S \varphi + \sigma \epsilon \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4

où les F_i sont les facteurs de forme entre surfaces en regard à température T_i et le corps étudié.

Dans la suite, nous allons aborder la contribution du rayonnement solaire à la température radiante, puis la contribution du rayonnement infrarouge.

Contribution solaire

Une méthode brute pour calculer la composante en courte longueurs d’onde est d’appliquer la méthode du facteur de projection qui considère que le flux direct normal \varphi^\perp est appliqué sur le corps humain avec un facteur de projection tenant compte de la nature cylindrique du corps humain :

\varphi = \alpha \varphi^\perp f_p(h)

Où le facteur de projection dépend de la hauteur solaire f_p(h) = 0.233 \cos(h)+ 0.067.

Cette méthode simple peut être affinée à condition de considérer la contribution solaire comme divisée en partie diffuse \varphi_d et directe \varphi_b , traitées séparément du fait de leur nature, comme décrit dans les sections qui suivent.

Flux direct

Le flux direct arrivant sur un individu considéré comme cylindrique peut se calculer de manière analytique à partir du flux direct sur un plan horizontal \varphi_b^h , de la hauteur solaire h et de l’angle d’incidence i :

\varphi_b = \varphi_b^h \times \frac{\cos(i)}{\sin(h)}

Le flux reçu sur le cylindre est calculé analytiquement à partir de la configuration géométrique qui suit et de l’angle d’incidence \theta par rapport à la normale à la surface du cylindre :

Cela se traduit par l’intégrale suivante, dont le résultat est la surface projetée orthogonale au rayonnement, qui par la nature du cylindre, est toujours azimutale (c’est-à-dire dans l’axe des des rayons du soleil) :

\phi_{b} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \varphi_b \cos(\theta) r H d\theta = 2 \varphi_b r H = S_p \varphi_b

Surface élémentaire exposée au flux direct.

Remarque : en pratique l’utilisation de cette méthode donne des résultats sensiblement équivalents au f_p pour le flux direct (voir section 4.1 de ce papier)

La valeur des flux directs reçus calculés par la méthode du f_p est cependant légèrement plus élevée, comme en témoigne la comparaison des modèles présentée ci-dessous.

Comparaison de la méthode du facteur de projection et du calcul intégré sur le cylindre pour une année complète.

Flux diffus

On utilise le modèle de flux diffus de Perez (plus de détails) qui considère les contributions circumsolaire, de l’horizon et du dôme isotropique, comme présenté ci-dessous :

Modèle de Perez du flux diffus et exposition d’un individu au centre de la scène.

Dans la suite, on fait l’hypothèse que les contributions du dôme ( L ) et de l’horizon ( K_2 ) sont isotropes sur le cylindre et que la contribution circumsolaire anisotrope ( K_1 ) se comporte de manière spéculaire, comme si elle éclairait « directement » la scène (voir l’illustration ci-dessous).

Contributions isotropes et anisotrope du modèle de Perez sur un cylindre.

L’équation du flux diffus reçu est donc calculée telle que :

\phi_d = 2 r H \varphi_{d}^{K_1} + 2 \pi r H \times (\varphi_{d}^L +\varphi_{d}^{K_2} ) = S_p \varphi_{d}^{K_1} + S_c (\varphi_{d}^L +\varphi_{d}^{K_2} )

Vérification numérique

On calcule enfin le flux total reçu comme \phi = S_p\varphi_b + \phi_d en [W].

En comparant le modèle analytique du cylindre présenté ci-dessus avec les résultats obtenus sur un cylindre discret à 12 faces (avec l’aide du package pvlib), on obtient les résultats suivants, qui montrent une bonne concordance.

Comparaison des modèles numérique et analytique

Les écarts entre modèles sont donnés ci-dessous et présentent une RMSE inférieure à 0.76 [W/m²] pour les trois flux, ce qui démontre la validité de l’approche.

Différences entre les modèles numérique et analytique.

Résultats

Un exemple de résultat obtenu par la méthode décrite ci-avant est donné sur trois journées estivales dans la figure qui suit. On retrouve les mêmes ordres de grandeur que dans la littérature expérimentale (Kantòr et al. 2018, Park & Tuller 2011) ainsi que le phénomène de rechute zénithale identifié par Kantòr et al. 2013. La comparaison avec la méthode dites « des 6 directions » (aussi décrite ici) offre des résultats similaires.

Flux reçus sur trois journées d’été

L’analogie des résultats avec ceux obtenus par la méthode du facteur de projection, dérivée par Fanger pour un individu, permet de conclure que la méthode de l’intégrale cylindrique est adaptée à la modélisation du flux reçu par l’Homme.

Les résultats obtenus sont du même ordre de grandeur que ceux de la méthode à 6 directions, dont les écueils ont été présentés dans Kantòr et al. 2018.

L’avantage de la technique présentée ici est qu’elle ne requiert que les flux horizontaux direct et diffus, ainsi que la hauteur solaire, généralement présents dans les fichiers météorologiques ou faciles à déterminer avec des outils librement accessibles.

La méthode pourrait être étendue à une ellipse dont la formule analytique est connue afin de se rapprocher d’autres configurations de facteur de projection proposées dans la littérature.

Contribution infra-rouge

Le calcul de la contribution en grandes longueurs d’ondes est rendu possible par la détermination des facteurs de forme entre parois en regard. On utilise à cet effet le code de pyViewFactor décrit dans ce papier d’IBPSA 2022.

Principe de calcul

En prenant une représentation géométrique de l’individu comme un octogone, on souhaite calculer la contribution de différentes parois d’une pièce. Le facteur de forme de rayonnement est défini comme le rapport des flux reçus par une paroi (ou un ensemble de parois) et du flux total « sortant » de la part de la paroi émettrice. Ainsi on peut le calculer en sommant les flux entre les n facettes d’une paroi maillée et les 9 faces de « l’octogone » :

F_p = \frac{ \sigma \epsilon \sum_{j=1}^{9} \sum_{i=1}^{n} S_i F_{ij} T_p^4 }{ \sigma \epsilon S T_p^4} = \frac{ \sum_{j=1}^{9} \sum_{i=1}^{n} S_i F_{ij}}{ S}

Facteurs de forme des parois vers un individu au centre d’une pièce

Une application de cette méthode est le calcul de la contribution de chaque paroi au bilan radiatif d’un individu situé au centre d’une pièce, comme présenté sur la figure qui suit.

Coupe de la pièce et de l’individu en son centre.

Le calcul est mené pour différentes longueurs de pièce : les résultats sont donnés sur la figure ci-dessous. L’individu étant positionné au centre de la zone, on observe que la contribution des parois verticales diminue sensiblement avec la taille de la pièce. À partir d’une zone de ~6 mètres, on constate que les contributions des différentes parois sont sensiblement équivalentes : un tiers pour le sol, un tiers pour le plafond et un tiers pour les quatre murs de la pièce.

Contribution des différentes parois en fonction de la taille de la pièce

Facteurs de forme des parois en fonction des positions dans la pièce

On s’intéresse désormais à l’influence des différentes parois en fonction de la position au sol de l’individu. Le même calcul est conduit pour chaque maille de sol de la pièce, en repositionnant successivement l’individu-octogone dans l’espace.

On obtient les cartographies suivantes, donnant le facteur de forme de chaque paroi vers l’individu, en fonction de sa position dans la pièce :

Facteur de forme d’un mur en fonction de la position de l’invdividu dans la pièce
Facteur de forme du plafond en fonction de la position de l’individu dans la pièce.

Température radiante spatialisée

Il devient ainsi possible de calculer la température radiante dans la pièce en fonction de la position de l’individu. Pour la déterminer, on résout l’équation en T_r donnant la température radiante des parois de la pièce qui provoquerait le même échange radiatif que les parois existantes, avec leurs surfaces et facteurs de forme respectifs :

\sigma \epsilon \sum_{i=1}^{n} S_i F_{i} T_r^4 = \sigma \epsilon \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4

Soit

T_r = \sqrt[4] { \frac{ \sum_{i=1}^{n} S_i F_i T_i^4 }{\sum_{i=1}^{n} S_i F_{i} } }

En effectuant le calcul sur une pièce cubique où les parois sont à 20°C, sauf un mur à 0°C, on obtient le résultat suivant, qui montre une disparité de ~6 K d’écart de température radiante.

Champ de température radiante dans une pièce cubique avec une paroi vitrée à 0°C (les autres surfaces à 20°C)

Pour une configuration plus complexe, un technicentre de maintenance de trains par exemple, incluant des fenêtres, des panneaux radiants, un train à température extérieure, on obtient les résultats suivants :

Distribution de la température radiante dans un environnement non-uniforme (fenêtres/panneaux radiants/murs/bus supposé à température extérieure)
Configuration géométrique étudiée
Température radiante dans le technicentre en l’absence de panneaux rayonnants